Диалоги (май 2003 г.)   ::   Гордон Александр

Что это за закон? Вероятности катастрофических наводнений, в которых гибнут люди, убывает с ростом числа жертв этих наводнений, не экспоненциально, а по степенному закону, то есть очень медленно. Говоря другим языком, можно сказать, что вероятности этих наводнений гораздо выше, чем принято считать. Возникает тогда вопрос: как рассчитывать вероятности таких наводнений, как описать физический механизм, который приводит к степенному закону затухания распределения вероятностей, и как построить удобную аналитическую функцию, чтобы можно было бы на основе этой придуманной нами функции правильно подсчитать вероятность этих катастрофических наводнений? Или, по крайней мере, согласовать их с известными данными по степенной статистике, которая широко применяется в американских работах. Но там ничего не говорится о механизме.

Так вот, почему это важно? Важно потому, что в 20-е годы в Нидерландах правительственный комитет по защите от наводнений принял максимальный уровень воды 390 сантиметров. На этот уровень предполагалось рассчитывать защитные сооружения.

А.Г. Это от уровня моря?

В.Н. Нет, на уровне внезапного подъёма воды.

А.Г. Ну, 390 от уровня моря.

В.Н. Такой уровень возможен раз в 10 тысяч лет. Гидротехники не стали ориентироваться на столь редкое событие, взяли отметку 340 сантиметров. Стремление удешевить строительство привело к трагедии голландского урагана, вызвало большие разрушения и самое большое несчастье – погибло около 2000 человек.

Таким образом, правильное определение вероятности этих катастроф нам очень важно. Так вот, мы посмотрели на эту задачу и построили простую модель, заключающуюся в расчёте стока, в который входят осадки, испарения, сток и влагозапасы бассейна. Такая модель описывается стохастическим дифференциальным уравнением. Мы написали уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова для этой системы и получили достаточно простое распределение – со степенным затуханием функции распределения вероятности при больших величинах этого стока. А поскольку можно предполагать, что масштабы этого бедствия функционально связаны с расходом воды и уровнем воды, мы стали использовать эту функцию для расчёта катастрофических наводнений на разных реках. Мы начали с Невы. Потому что для неё посчитаны детальные гидродинамические модели, и можно было сравнить эту теорию с гидродинамическими теориями наводнений.

И.К. Мы взяли эту плотность степенного распределения, в простейшем случае она зависит от одного параметра «бета» и обладает следующими свойствами. Во-первых, плотность степенного распределения степенным образом затухает, когда её аргумент стремится к нулю, и тем медленнее, чем меньше параметр «бета». И, кроме того, если «бета» больше, то она достаточно быстро убывает. И, во-вторых, моменты порядка «целая часть параметра „бета“ обращаются в бесконечность для этого степенного распределения. Таким образом, если у нас „бета“ приняло значение между двумя и тремя, то „целая часть параметра бета“ равно двум и степенное распределение не имеет дисперсии. То есть дисперсия обращается в бесконечность. Таким образом, соответствующий случайный процесс должен совершать гигантские выбросы, чтобы набрать такую дисперсию. Действительно, существует такая северная горная река Тура, которая протекает в Эвенкийском Национальном округе, в горах, между реками Енисеем и Леной, и для неё оценка параметра „бета“ равна 2,63. То есть там имеют место гигантские выбросы.

Вообще говоря, применение степенного распределения в корне меняет въевшееся в плоть и кровь представление о надёжности и риске. Вот мы рассмотрели максимальные уровни для реки Невы. И для того, чтобы исследовать повторяемость наводнений, мы рассмотрели наше степенное распределение и принятое в гидрологии гамма-распределение.